Cálculo 1A FCEA

Curso de Cálculo 1A FCEA de Ciencias Económicas

En este curso teórico – práctico de Cálculo 1A FCEA; aprenderemos los conceptos teóricos imprescindibles para poder resolver los ejercicios planteados en el curso.

Entendiéndolos de forma de llegar a el parcial o examen con la mayor certeza posible de salvarlo.

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Funciones lineales

Funciones lineales.

Definición de Funciones lineales.
Se define una función f como lineal cuando su dominio son los reales R (todos los números positivos y negativos ) y existen constantes m, n ∈ R tales que f(x) = mx + n, ∀ x ∈ R. Es decir, una función lineal es una función constante o polinómica de primer grado.

En la ecuación Y=mx+n

El número m se denomina coeficiente angular o pendiente
de la función lineal (o de la recta) y nos da información sobre la
“inclinación» de la misma, o sea su velocidad de cambio.

• Si m = 0 entonces f(x) = n, ∀ x ∈ R. En este caso f es una función constante.
• Cuando m > 0 la función lineal es estrictamente creciente.
• Si m < 0 la función es estrictamente decreciente.

Ejercicio 1

Graficar las siguientes funciones lineales y estudiar su signo:
(a) f1(x) = x
(b) f2(x) = −x
(c) f3(x) = 8x

Ejercicio 2

Sin graficarlas, estudiar el signo de las siguientes funciones:
(a) f1(x) = 2x + 4
(b) f2(x) = −3x + 1
(c) f3(x) = (2x − 3)(−x + 5)

Cálculo 1A FCEA

Ejercicio 3 – Cálculo 1A FCEA

Sin graficar, estudiar el signo de la siguiente función:

(d) f4(x) = (x − 3)(−4x + 4)x

Ejercicio 4 – Cálculo 1A FCEA

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,−1) y (−2, 3).

Ejercicio 5 – Cálculo 1A FCEA

Hallar la ecuaciones de las recta que cumple: Pasa por el punto (−2, 1) y tiene coeficiente angular 2.

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Intersección de dos rectas

Dadas dos rectas r1 y r2 de ecuaciones y = a1x + b1 e y = a2x + b2 respectivamente queremos hallar r1 ∩ r2, es decir, la intersección de las dos rectas. Para que un punto P = (x, y) pertenezca a la intersección debe verificar ambas ecuaciones, de donde sus coordenadas deben ser solución del sistema:
y = a1x + b1
y = a2x + b2
donde las incógnitas son x e y.

El procedimiento va a ser resolver el sistema y los valores de x e y solución del sistema, es el punto de corte de ambas rectas.

Lo vemos más claramente en el siguiente ejercicio:

Ejercicio 6 – Cálculo 1A FCEA

hallar la intersección de las rectas R1 y la recta R2 ; e interpretar gráficamente.
r1 : y = 3x + 2

r2 : y = −x + 6

Ejercicio 7

En cada uno de los siguientes casos hallar r1∩r2 e interpretar gráficamente.
(a) r1 : y = 3x + 2 y r2 : y = −x + 6
(b) r1 : y = −2x + 3 y r2 : y = 3x + 7
(c) r1 : y = 2x + 2 y r2 : y = 5x − 1
(d) r1 : y = x + 2 y r2 : y = x − 3

Ejercicio 8

Una fábrica vende un solo tipo de producto a 25 $ cada uno. Los costos
variables por unidad son de 2 $ por concepto de materiales y de 6 $ por concepto de mano
de obra. Los costos fijos anuales ascienden a 34000 $.
(a) Encontrar la función de utilidad y graficarla.

(b) ¿Cuántos artículos tiene que vender para que no haya pérdidas?

Ejercicio 9

Se sabe que la función de costos de una empresa se puede representar
mediante una función lineal.

Los costos fijos ascienden a $ 20000 y los costos variables por producir 2000 unidades son de $ 4000.

Por otra parte se sabe que el precio de venta del único producto que produce y vende la empresa es de $ 7 por unidad.

(a) Determinar las funciones de costo, ingreso y utilidad de la empresa. Representarlas gráficamente.
(b) Hallar el nivel de producción a partir del cual las ganancias superan los $ 15000.
(c) Hallar el nivel de producción en el cual los ingresos triplican los costos.

Funciones Cuadráticas – Cálculo 1A

Ejercicio 10

Estudiar el signo de las siguientes funciones:
(a) f1(x) = (x2 − 5x + 6)x
(b) f2(x) = (x2 − 4)(x + 3)
(c) f3(x) = x2 + 2x + 2)(−x + 2)
(d) f4(x) = (−x2 − 2x − 1)(x2 + 4x − 5)

Ejercicio 11

f es una función cuadrática cuyas raíces son −2 y −4 y f(1) = 14.

Encontrar el mínimo absoluto de f.

Ejercicio 12

La función de demanda de determinado artículo es D(p) = 3000 − 3p en donde p es el precio por unidad (medido en pesos).

(a) Hallar la función de ingreso y graficarla.

(b) ¿Cuál debe ser el precio para que el ingreso sea máximo? Hallar dicho ingreso máximo.

(c) La empresa tiene un costo fijo de 100000 pesos y un costo variable de 4 pesos por cada artículo que produce. Encontrar el precio que se le debe asignar al artículo para que la utilidad sea máxima. Calcular dicha utilidad.

Ejercicio 13

Para 20 ≤ p ≤ 37, las funciones de demanda y oferta de determinado
artículo son D(p) = −p2 + 1400 y S(p) = p2 − 400.

Determinar el precio y la cantidad de equilibrio del mercado.

Ejercicio 14

En un mercado se conoce que la función de oferta es una función cuadrática.

Se sabe que el vértice de dicha función está en el punto (0,−100) y que una de las raíces de la función es 10.

(a) Hallar la función de oferta y determina el dominio restringido.

(b) ¿Cuál es la cantidad ofertada a un precio de 20?

(c) ¿Para qué precio la oferta es de 800?

(d) Si sabemos además que la función de demanda es D(p) = −p2 +6p+1000, hallar el punto de equilibrio.

(e) ¿A partir de qué nivel de precios la cantidad ofrecida supera la cantidad demandada?

Ejercicio 15

Una empresa produce un artículo cuya oferta es una función lineal; donde
se ofrecen las cantidades 120 y 160 para los precios de 1 y 2 dólares por unidad respectivamente.

La demanda viene dada por d(p) = 50p2 − 500p + 1250. Encontrar el punto de equilibrio (el valor de p para el cual la oferta coincide con la demanda).

Funciones definidas por más de una fórmula

Ejercicio 16

(a) Graficarla.
(b) Calcular f(−2), f(0) y f(5).
(c) Calcular f[f(5)].
(d) Resolver la ecuación f(x) = 4 e interpretar gráficamente.

Ejercicio 17

(a) Hallar los reales a y b sabiendo que −2 es raíz de la función y que f(3) = −5.

(b) Graficarla.

(c) Resolver la ecuación f(x) = −1 e interpretar gráficamente.

(d) Calcular el valor de f[f(2)]

Ejercicio 18

(a) Hallar los reales a y b sabiendo que f(1) = 3 y que f(2) = 4.

(b) Calcular las raíces de f.

(c) Graficar la función f.

Funciones Exponencial y Logarítmica

Ejercicio 19

Resolver las siguientes ecuaciones y dar un valor aproximado de las
soluciones utilizando calculadora.
(a) 4e3x − 2 = 34
(b) 5 − 2e2x = −3
(c) 8 − e2x = 10

Ejercicio 20

Se depositan 100.000 pesos a una tasa de interés anual de 5% que se capitaliza continuamente.

(a) Calcular el saldo de la inversión al cabo de cinco años.

(b) ¿Cuál es la cantidad mínima de años que se debe dejar el dinero para superar por primera vez un saldo de 230.000 pesos?

Ejercicio 21

Una persona A invierte 10000 dólares a comienzos de 1990 y otra persona
B invierte 20000 dólares a comienzos del 2000. Si ambos reciben intereses del 4% (capitalizados continuamente)

(a) ¿Cuáles serán los valores de las inversiones al finalizar el año 2010?
(b) ¿Cuál debería ser la tasa de interés (ya no necesariamente del 4%) para que A finalice con el mismo capital que B?

Ejercicio 22

Durante los años 1990 y 2000 la utilidad anual de la empresa tuvo un
crecimiento exponencial dado por U(t) = A ekt en donde U(t) es la utilidad en miles de dólares y t se mide en años. En t = 0 (que corresponde al final del ejercicio del año 1990) la ganancia fue de 200 mil dólares. La ganancia anual de 1992 fue de 400 mil dólares.
Encuentra el año al final del cual la ganancia supera por primera vez los dos millones de dólares.

Ejercicio 23

Una taza de café instantáneo recién servida tiene una temperatura de
82o. Después de dos minutos permaneciendo en una habitación a 21o, el café se enfría hasta 74o. Suponiendo que la temperatura de la taza en cada instante t (medido en minutos) viene dada por: T(t) = Aekt + 21, encuentra las constantes A y k. ¿En qué tiempo llega el café a una temperatura tolerable de 49o?

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

Ejercicio 24

Calcular los siguientes limites:

Ejercicio 25

Indeterminación 0 sobre 0

Ejercicio 26

Halla α y el límite para que éste sea finito y distinto de 0:

Ejercicio 27

Calcular si existen, los siguientes límites e interpretar gráficamente.

Ejercicio 28

Calcular si existen, los siguientes límites e interpretar gráficamente.

Ejercicio 29

Ejercicio 30

Calcular los siguientes límites:

d)            e)   

Ejercicio 31

Calcular los siguientes límites:

Ejercicio 32

Calcular los siguientes límites:

Ejercicio 33

Calcular los siguientes lintes planteados:

(d)

Ejercicio 34

Ejercicio 35

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Investigar en qué puntos son continuas las siguientes funciones.

Ejercicio 36

Se considera

Hallar las constantes a y b sabiendo que f es continua en todo R.

FUNCIÓN COMPUESTA

Ejercicio 37

De las funciones F : A → B y G : B → C se sabe que
F(0) = 3, F(5) = 0, F(1) = 1, F(−2) = 8, G(3) = 7, G(1) = 5, G(8) = 0, G(0) = −10
Hallar (GoF)(0), (GoF)(5), (GoF)(1), (GoF)(−2)

Ejercicio 38

Hallar g o f y f o g en los siguientes casos

TEOREMA DE BOLZANO

Ejercicio 39

Se considera f : [0, 2] → R dada por f(x) = e−x + 1 − x
Demostrar que f tiene al menos una raíz en el intervalo (0, 2) (no se pide calcular las
raíces).

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Ejercicio 40

Dada la función f(x) = −x2 + 3x + 2
(a) Hallar f´(1) utilizando la definición de derivada.
(b) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa 1.
(c) Utilizando la recta tangente calcular aproximadamente f(1, 1) y comparar con el valor exacto.

Ejercicio 41

Sea f(x) = 1/3x3 + 2x2 + 3x + 1. Encontrar los puntos de la gráfica de f
en los cuales la tangente es horizontal (o sea paralela al eje Ox).

Cálculo Práctico de Derivadas

Ejercicio 42

COMO resolver DERIVADAS de una función

Ejercicio 43

Ejercicio 44

Ejercicio 45

DERIVADAS de una multiplicación

Ejercicio 46

DERIVADAS de multiplicación con Logaritmo

Ejercicio 47

Como DERIVAR DIVISIÓN con Logaritmo

Ejercicio 48

Cálculo de la TANGENTE de una FUNCIÓN en un punto

Ejercicio 49

Se considera f : R → R / f(x) = x3 + ax2 + bx − a

Hallar a y b reales
para que f tenga extremos relativos en x = 0 y en x = −4.

Ejercicio 50

Sea f : R → R / f(x) = x e−x
(a) Estudiar el signo de f′(x) e interpretarlo.
(b) Calcular los límites de la función para x → +∞ y para x → −∞
(c) Realizar un bosquejo de la gráfica de f.

Ejercicio 51

Supongamos que D(p) = 240 − 2p (para 0 ≤ p ≤ 120).
(a) Expresar la elasticidad de la demanda como una función de p.
(b) Calcular la elasticidad de la demanda cuando el precio es p = 100. En este caso ¿es elástica o inelástica? Para este precio calcula el gasto total de los consumidores ¿Qué ocurre con el gasto total de los consumidores si el precio se incrementa en un 5% ?
(c) Responder las mismas preguntas de la parte anterior para p = 50.

Ejercicio 52

Hallar los extremos absolutos de f(x) = x3 − 6x2 + 9x en [0, 4].

Ejercicio 53

Durante varias semanas se ha registrado el flujo de tráfico más allá de
cierta salida del centro de Montevideo. Los datos señalan que entre la 1 : 00 y las 6 : 00 p.m., en un día normal de la semana, la velocidad del tráfico en la salida es aproximadamente V (t) = t3 − 10, 5 t2 + 30t + 20 kilómetros por hora, donde t es el número de horas después del mediodía. ¿En qué momento entre la 1 : 00 y las 6 : 00 p.m. es más rápido el tráfico y en qué momento es más lento?

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